Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно
– это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:
- Боковые грани пирамиды являются трапециями;
- Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
- Основания являются подобными многоугольниками;
- В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон:
Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции . Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.
Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:
Давайте рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
Дана правильная пятиугольная пирамида. Апофема l
= 5 см, длина грани в большом основании равна a
= 6 см, а грань в меньшем основании b
= 4 см. Рассчитайте площадь усеченной пирамиды.
Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:
Таким же образом находим периметр меньшего основания:
Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:
Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.
Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований .
Давайте рассмотрим пример расчета. Помним, что данная формула применяется только для правильной усеченной пирамиды.
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Грань нижнего основания a = 6 см, а грань верхнего b = 4 см. Двухгранный угол при основании β = 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
Для начала рассчитаем площадь оснований. Так как пирамида правильная, все грани оснований равны между собой. Учитывая, что в основании лежит четырехугольник, понимаем, что нужно будет рассчитать площадь квадрата
. Она представляет собой произведение ширины на длину, но в квадрате эти значения совпадают. Найдем площадь большего основания:
Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.
Зная несколько несложных формул, мы легко рассчитали площадь боковой трапеции усеченной пирамиды через различные значения.
Умение вычислять объем пространственных фигур является важным при решение ряда практических задач по геометрии. Одной из распространенных фигур является пирамида. В данной статье рассмотрим пирамиды как полной, так и усеченной.
Пирамида как объемная фигура
Каждый знает о египетских пирамидах, поэтому хорошо представляет, о какой фигуре пойдет речь. Тем не менее египетские каменные сооружения являются лишь частным случаем огромного класса пирамид.
Рассматриваемый геометрический объект в общем случае представляет собой многоугольное основание, каждая вершина которого соединена с некоторой точкой в пространстве, не принадлежащей плоскости основания. Данное определение приводит к фигуре, состоящей из одного n-угольника и n треугольников.
Любая пирамида состоит из n+1 граней, 2*n ребер и n+1 вершины. Поскольку рассматриваемая фигура является совершенным полиэдром, то числа отмеченных элементов подчиняются равенству Эйлера:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многоугольник, находящийся в основании, дает название пирамиды, например, треугольная, пятиугольная и так далее. Набор пирамид с разными основаниями приведен на фото ниже.
Точка, в которой n треугольников фигуры соединяются, называется вершиной пирамиды. Если из нее опустить на основание перпендикуляр и он пересечет его в геометрическом центре, тогда такая фигура будет называться прямой. Если это условие не выполняется, то имеет место наклонная пирамида.
Прямая фигура, основание которой образовано равносторонним (равноугольным) n-угольником, называется правильной.
Формула объема пирамиды
Для вычисления объема пирамиды воспользуемся интегральным исчислением. Для этого разобьем фигуру параллельными основанию секущими плоскостями на бесконечное число тонких слоев. Рисунок ниже показывает четырехугольную пирамиду высотой h и длиной стороны L, в которой четырехугольником отмечен тонкий слой сечения.
Площадь каждого такого слоя можно вычислить по формуле:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Здесь A 0 - площадь основания, z - значение вертикальной координаты. Видно, что если z = 0, то формула дает значение A 0 .
Чтобы получить формулу объема пирамиды, следует вычислить интеграл по всей высоте фигуры, то есть:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Подставляя зависимость A(z) и вычисляя первообразную, приходим к выражению:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Мы получили формулу объема пирамиды. Чтобы найти величину V, достаточно умножить высоту фигуры на площадь основания, а затем результат поделить на три.
Заметим, что полученное выражение справедливо для вычисления объема пирамиды произвольного типа. То есть она может быть наклонной, а ее основание представлять собой произвольный n-угольник.
и ее объем
Полученную в пункте выше общую формулу для объема можно уточнить в случае пирамиды с правильным основанием. Площадь такого основания вычисляется по следующей формуле:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Здесь L является длиной стороны правильного многоугольника с n вершинами. Символ pi - это число пи.
Подставляя выражение для A 0 в общую формулу, получаем объем правильной пирамиды:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Например, для треугольной пирамиды эта формула приводит к следующему выражению:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Для правильной четырехугольной пирамиды формула объема приобретает вид:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Определение объемов правильных пирамид требует знания стороны их основания и высоты фигуры.
Пирамида усеченная
Предположим, что мы взяли произвольную пирамиду и отсекли у нее часть боковой поверхности, содержащей вершину. Оставшаяся фигура называется усеченной пирамидой. Она состоит уже из двух n-угольных оснований и n трапеций, которые их соединяют. Если секущая плоскость была параллельна основанию фигуры, тогда образуется усеченная пирамида с параллельными подобными основаниями. То есть длины сторон одного из них можно получить, умножая длины другого на некоторый коэффициент k.
Рисунок выше демонстрирует усеченную правильную Видно, что верхнее основание ее так же, как и нижнее, образовано правильным шестиугольником.
Формула которую можно вывести, используя подобное приведенному интегральное исчисление, имеет вид:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Где A 0 и A 1 - площади нижнего (большого) и верхнего (маленького) оснований соответственно. Переменной h обозначается высота усеченной пирамиды.
Объем пирамиды Хеопса
Любопытно решить задачу на определение объема, который заключает внутри себя самая большая египетская пирамида.
В 1984 году британские египтологи Марк Легнер (Mark Lehner) и Джон Гудман (Jon Goodman) установили точные размеры пирамиды Хеопса. Ее первоначальная высота равнялась 146,50 метра (в настоящее время около 137 метров). Средняя длина каждой из четырех сторон сооружения составила 230,363 метра. Основание пирамиды с высокой точностью является квадратным.
Воспользуемся приведенными цифрами для определения объема этого каменного гиганта. Поскольку пирамида является правильной четырехугольной, тогда для нее справедлива формула:
Подставляем цифры, получаем:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 м 3 .
Объем пирамиды Хеопса равен практически 2,6 млн м 3 . Для сравнения отметим, что олимпийский бассейн имеет объем 2,5 тыс. м 3 . То есть для заполнения всей пирамиды Хеопса понадобится больше 1000 таких бассейнов!
- 09.10.2014
Показанный на рисунке предварительный усилитель предназначен для использования с 4-я видами источников звука, например микрофон, CD-проигрыватель, магнитола и др. При этом у предварительно усилителя один вход, который может менять чувствительность от 50 мВ до 500мВ. выходное напряжение усилителя 1000мВ. Подключая разные источники сигнала при переключении переключателя SA1, мы всегда получим …
- 20.09.2014
БП рассчитан на нагрузку мощностью 15…20 Вт. Источник выполнен по схеме однотактного импульсного высокочастотного преобразователя. На транзисторе собран автогенератор, работающий на частоте 20…40кГц. Частота настраивается емкостью С5. Элементы VD5,VD6 и С6 образуют цепь запуска автогенератора. Во вторичной цепи после мостового выпрямителя стоит обычный линейный стабилизатор на микросхеме, что позволяет иметь …
- 28.09.2014
На рисунке представлен генератор на микросхеме К174ХА11, частота которого управляется напряжением. При изменении емкости С1 от 560 до 4700пФ можно получить широкий диапазон частот, при этом настройка частоты производится изменением сопротивления R4. Так например автор выяснил что, при С1=560пФ частоту генератора можно изменять при помощи R4 от 600Гц до 200кГц, …
- 03.10.2014
Блок предназначен для питания мощного УНЧ, он рассчитан на выходное напряжение ±27В и так нагрузки до 3А на каждое плече. БП двух полярный, выполнен на комплектарных составных транзисторах КТ825-КТ827. Оба плеча стабилизатора выполнены по одной схеме, но в другом плече (он не показан) изменена полярность конденсаторов и использованы транзисторы другой …
Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями , а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.
В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной .
Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.
Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми , а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания .
Пирамиду называют правильной , если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.
Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.
Для любой пирамиды имеют место следующие формулы:
1) S полн = S бок + S осн , где
S полн – площадь полной поверхности пирамиды;
S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;
S осн – площадь основания пирамиды.
2) V = 1/3 S осн · Н , где
V – объем пирамиды;
Н – высота пирамиды.
Для правильной пирамиды имеет место:
S бок = 1/2 P осн h , где
P осн – периметр основания пирамиды;
h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.
Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой .
Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми . Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми .
Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники . Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной .
Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы:
1) S полн = S бок + S 1 + S 2 , где
S полн – площадь полной поверхности;
S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;
S 1 , S 2 – площади оснований;
2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H , где
V – объем усеченной пирамиды;
H – высота усеченной пирамиды.
Для правильной усеченной пирамиды также имеем:
S бок = 1/2(P 1 + P 2) · h, где
P 1 , P 2 – периметры оснований;
h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).
Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.
Задача 1.
В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.
Решение.
Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке1.
1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле
V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), где S 1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.
Имеем: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.
2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 . Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:
S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Отсюда S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.
Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.
Ответ: 1900.
Задача 2.
В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?
Решение.
Рассмотрим АВСА 1 В 1 С 1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.
Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1).
Тогда объем усеченной пирамиды равен:
V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , где S 2 – площадь верхнего основания, h – высота.
Но объем призмы АDEA 1 B 1 C 1 составляет V 1 = S 2 · h и, значит,
V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .
Итак, V 2: V 1 = 3: 4.
Ответ: 3: 4.
Задача 3.
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.
Решение.
Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , изображенную на рис. 3.
Обозначим О 1 О 2 = х, тогда ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.
Рассмотрим треугольник В 1 О 2 D 1 и треугольник ВО 2 D:
угол В 1 О 2 D 1 равен углу ВО 2 D как вертикальные;
угол ВDO 2 равен углу D 1 B 1 O 2 и угол O 2 ВD равен углу B 1 D 1 O 2 как накрест лежащие при B 1 D 1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.
Следовательно, треугольник В 1 О 2 D 1 подобен треугольнику ВО 2 D и имеет место отношение сторон:
В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.
Рассмотрим треугольник В 1 D 1 В и треугольник LО 2 B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B 1 D 1 || LM, значит, треугольник В 1 D 1 В подобен треугольнику LО 2 B, откуда В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.
LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .
Тогда S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Итак, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Ответ: 152/27; 37/27.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.