Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно
Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:
Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .
Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.
Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.
Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.
Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.
В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:
| (1) |
где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .
Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде
| (2) |
называется вектор-столбцом .
Число n
называется размерностью
(порядком
) вектора. Если 
то вектор называется нулевым вектором
(т.к. начальная точка вектора 
). Два вектора x
и y
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.
В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.
Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения .
Навигация по странице.
Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
Покажем как происходит сложение двух векторов .
Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника .
Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.
А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.
Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .
Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника . Приведем иллюстрацию правила многоугольника.
Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число .
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 < k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.
К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами . Некоторые из них очевидны.
Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.
Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.
Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .
Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.
Разберем на примере.
Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор 
.
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
Геометрическим вектором называют направленный отрезок. Для описания векторов используют обозначения ; .
Длиной вектора называют расстояние между начальной точкой и точкой конца вектора. Длину вектора будем обозначать , или просто АВ, а.
Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Такой вектор не имеет направления, его длина равна нулю, обозначают его как .
Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают это как .
Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Два вектора называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.
Отметим, что для свободного вектора его начало можно совмещать с любой точкой пространства.
В дальнейшем будем иметь дело лишь со свободными векторами.
Линейные операции над векторами и их свойства
Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух геометрических векторов и называется вектор , который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
1.По правилу треугольника
Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .
2. По правилу параллелограмма
Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .
Свойства сложения векторов.
1. Коммутативность
2.Ассоциативность 
3.Существование нулевого вектора такого, что
4. Для любого вектора существует противоположный вектор ()такой, что
С помощью свойств сложения векторов также можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор .
Такой вектор называют геометрической разностью векторов и :
Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .
Свойства произведения вектора на число.
5. Ассоциативность сомножителей
6. Дистрибутивность суммы векторов относительно умножения на вещественное число
7. Дистрибутивность относительно суммы чисел 
8. Существование числа 1, не меняющего вектора при умножении
Все восемь свойств линейных операций получены из геометрических свойств векторов.
Можно поступить иначе. Положить эти восемь свойств в основу определения векторов.
Определение.
Любая совокупность объектов, для которых введено соотношение равенства, а также операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1-8, называется линейным векторным пространством.
Элементы такого пространства называют векторами или точками этого пространства.
Примеры линейных векторных пространств
1. Множество всех геометрических векторов.
2. Множество всех вещественных чисел. Обозначим его или .
3. Множество всевозможных пар вещественных чисел. Обозначим его .
Пусть = и = – элементы этого множества. Будем называть числа и координатами векторов и . Векторы и считаются равными, если равны их координаты, т.е. и
Суммой векторов и будем называть вектор , имеющий координаты и .
При таком введении линейных операций выполняются все свойства 1-8 и пространство можно считать линейным векторным пространством.
4. Множество всевозможных наборов из n вещественных чисел. Будем обозначать это множество . Элементами этого множества являются наборы из чисел.
10.Скалярное произведение векторов и его свойства
В качестве нелинейных операций над векторами рассмотрим скалярное произведение и векторное произведение, наиболее часто встречающиеся в приложениях.
Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит p.
Угол между векторами будем обозначать
Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
Если ,то ,т.к. ,
если ,то ,т.к. ,
если ,то ,т.к. .
а)Ортогональной проекцией вектора на направление, задаваемое вектором , будем называть число
б) Аналогично число = является ортогональной проекцией вектора на направление .
Из определения скалярного произведения следует, что
Следствие.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны (угол между ними равен ).
Свойства скалярного произведения.
Коммутативность
1) Ассоциативность
2) Дистрибутивность относительно суммы векторов
4) , если и , если
Свойства 1-4 доказываются исходя из геометрических свойств векторов.
Угол между векторами.
Зная длины векторов и их скалярное произведение можно найти угол между векторами. Действительно, т.к. 
, то
11. Векторное произведение и его свойства , вычисление через координаты
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (обозначим его ), удовлетворяющий следующим условиям.
Определение: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор , такой что
Свойства векторного произведения:
Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i , j , k ), a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 }
=> [a
,b
] = 
= 
12. Смешанное произведение векторов.
Определение: Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число
Утверждение:
Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 },
с={x 3
, y 3
, z 3
}, =>