Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Парадоксы Зенона вводили в недоумение многих ученых и философов до 17 века. И до сих пор многие ученые спорят о бесконечности, структуре пространства и вре...

От Masterweb

08.04.2018 01:00

Парадоксы Зенона вводили в недоумение многих ученых и философов до 17 века. И до сих пор многие ученые спорят о бесконечности, структуре пространства и времени, хотя началось все с нескольких парадоксальных утверждений, ставящих поначалу в логический тупик любого умного человека.

История возникновения парадоксов Зенона

Зенон Элейский – философ Древней Эллады, ученик основателя Элейской школы – Парменида. Жил он с 515 по 450 год до нашей эры, о его жизни известно очень мало. Родился в городе Элее в южной части Италии. По утверждению Платона, Зенон побывал в Афинах и встретился с Сократом. Прославился благодаря своим апориям, в виде которых был сформулирован знаменитый парадокс Зенона. Апории Зенона представляют собой парадоксальные рассуждения, само же слово «апория» с греческого языка обозначает «безвыходность».

В древние времена современники насчитывали 40 парадоксальных утверждений, а до наших дней дошли только 9, наиболее известны - 4. Узнали об апориях Зенона благодаря трудам Аристотеля, а также благодаря таким философам, как Диоген Лаэртский, Платон, Филопон, Симпликий. Кстати, стоит сказать о самой Элейской школе, к которой Зенон принадлежал. Основные ее учения гласят, что любое изменение является иллюзией, бытие же является единым и не изменяется. Зенон говорил, что истинная реальность является вечной и неизменной, и постигнуть ее можно только с помощью разума и логики. Поэтому многие апории Зенона посвящены движению, в них он показывает, что движения (или изменения), с точки зрения логики, не существует.

Парадоксы о движении и времени

«Состязание Ахиллеса и черепахи» - один из самых известных парадоксов Зенона. Наверное, его знает каждый школьник. Существуют еще такие апории Зенона, как «Полет стрелы», «Дихотомия» и другие. Они посвящены движению, обсуждаемы и изучаются уже два тысячелетия. Им посвящены были многие исследования, и вплоть до 17 века мыслители не могли опровергнуть эту хитроумную логику.

Проблема решилась после идеи дифференциального исчисления, которую предложили Ньютон и Лейбниц. Там есть понятие «предел», так прояснилась разница между разбиением времени и разбиением на отрезки определенного пути. К тому же загадка разрешилась, когда ученые научились пользоваться бесконечно малыми величинами. Апории Зенона породили с тех пор множество различных вариаций. Кроме того, возможно, добавились некоторые детали. Мы перечислим сохранившиеся до наших дней парадоксы Зенона и кратко расскажем об их сути. Во всяком случае, попытаемся это сделать.

Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе

Герой мифов Древней Греции Ахиллес соревнуется в скорости бега с черепахой. Условия таковы, что черепаха стартует немного дальше, Ахиллес находится от нее на расстоянии в 1000 шагов.

Чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен достигнуть сначала места, с которого черепаха стартовала. Но как только он добежит до этого места, черепаха успеет проползти 100 шагов. Это расстояние, которое она проползла, еще предстоит преодолеть Ахиллесу, но к тому времени она уползет еще дальше на 10 шагов и так далее. Число таких отрезков, которые нужно преодолеть Ахиллесу, по утверждению Зенона, может быть бесконечным, ведь величина этих отрезков все время будет уменьшаться до бесконечно малых величин.

Выходит, если следовать такой логике, древнегреческий герой никогда не догонит черепаху. Парадокс Зенона заключается в существовании бесконечного количества бесконечно малых отрезков, но в реальной жизни бегун наверняка обгонит медлительное животное.

Летящая стрела

Этот парадокс получил название «Стрела». Это еще одна апория, которую Зенон сформулировал приблизительно следующими словами. Если что-либо пребывает в движении, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает собой, либо оно движется там, где его нет. Но оно не способно двигаться в том месте, которое оно занимает. Так как в каждую секунду оно занимает полностью все это место. Но и в том месте, где его нет, оно не может двигаться. Следовательно, движение само по себе невозможно.

По утверждению Зенона, стрела, когда летит, одновременно пребывает в покое. Потому что в каждый момент она занимает одно и то же пространство, равное ей. То есть стрела пребывает в покое относительно места, где она находится в определенный промежуток времени. Получается, что летящая стрела неподвижна. Если она неподвижна в определенный момент, значит, она находится в покое и в другие моменты времени. И нет того момента, когда стрела двигалась.

Дихотомия

Парадокс, который будет приведен далее, имеет название «дихотомия». В переводе с греческого языка оно означает «разделение надвое», и дано оно Аристотелем. Эта апория изложена примерно по такому же принципу, как и парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе.

В оригинале говорится о бегуне, который не в состоянии даже стартовать, ведь движения, по мнению Зенона, не существует. Но есть еще и распространенный вариант про пересечение комнаты.

Чтобы пересечь комнату, нужно сначала пересечь половину комнаты. На это уйдет определенная единица времени. После этого останется определенное расстояние, нужно преодолеть половину его за еще одну единицу времени. Затем тот отрезок пути, что остался, нужно разделить еще надвое и пройти половину этого отрезка за то же время. Тогда опять остается определенное расстояние, половину которого надо пересечь. Получается, что комнату пересекать можно бесконечно.

Две колонны на стадионе

Две колонны людей, одинаковые по длине, двигаются параллельно с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. По утверждению Зенона, время которое истечет, когда колонны будут проходить мимо друг друга, равно половине того времени, которое нужно одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Разрешение парадоксов Зенона

Из четырех перечисленных апорий наибольшую известность получили первые три. Четвертая появилась из-за неправильного понимания природы относительного движения.

Все апории можно легко опровергнуть экспериментально. Ничего не мешает пересечь комнату, выпустить стрелу и обогнать черепаху.

Рассмотрим парадокс, связанный с пересечением комнаты. Конечно, если разделить расстояние надвое и пройти половину, на это уйдет определенное количество времени. Останется еще расстояние, которое тоже нужно поделить надвое и пройти половину. Но для этого времени понадобится в два раза меньше. Чем меньше становится расстояние, которое необходимо преодолеть, тем больше будет сокращаться время на его прохождение. Выходит, при пересечении комнаты в конце требуется неограниченное число бесконечно маленьких временных отрезков. Но если сложить все отрезки, получится определенное число – оно-то и будет временем, затраченным на пересечение комнаты. Получается, пересечь комнату вполне возможно за определенный промежуток времени. Это доказательство схоже с нахождением предела при дифференциальном исчислении. Древнегреческий философ Зенон ошибочно предполагал, что при прохождении бесконечно малых расстояний каждый раз требуется одно и то же время.

Что касается парадокса Зенона «Летящая стрела», еще Аристотель его раскритиковал, утверждая, что каждый момент времени не может быть неделимым сам по себе. Еще он говорил, что рассуждения Зенона о том, что если все занимающее равное себе место пребывает в покое, и если то, что пребывает в движении, всегда занимает в любой момент такое же место, то стрела неподвижна, ошибочны.

Квантовый эффект

Парадоксы Зенона были опровергнуты со временем многими учеными. Но они все же внесли определенный вклад в науку. В квантовой физике на сегодняшний момент есть такое понятие, как квантовый парадокс Зенона. Он заключается в том, что если наблюдать за нестабильной частицей, например, проводить измерения, проверять, распалась частица или нет, то возникает некоторое замедление радиоактивного распада.

Предполагается, что если непрерывно наблюдать за частицей, то она может вообще не распасться. В 90-х годах прошлого века этот квантовый эффект был подтвержден с помощью ряда экспериментов.

Улица Киевян, 16 0016 Армения, Ереван +374 11 233 255

В истории развития квантовой механики было много попыток опровергнуть какие-либо из ее положений. Парадоксы возникают, когда зарождается новая область знаний. Они полезны, потому что попытки их конструктивного и содержательного объяснения углубляют понимание предмета. Однако большая часть парадоксов может быть объяснена при детальном рассмотрении и строгом математическом описании.

Парадокс Зенона

Зенон был автором нескольких апорий - рассуждений, которые, на первый взгляд, кажутся логичными, но противоречат здравому смыслу. Наиболее известным парадоксом его авторства является «Ахиллес и черепаха»: Ахиллес пытается догнать черепаху, но ему это не удается, если черепаха начала движение раньше него. Зенон объясняет это следующим образом: изначально между Ахиллесом и черепахой есть расстояние, и к тому моменту, как Ахиллес достиг положения черепахи, она уже сместилась из этой точки. Когда он пришел в следующее положение черепахи, она еще дальше сместилась, и так до бесконечности.

В рамках заданных положений парадокс объясняется так: у бесконечной суммы может быть конечный результат суммирования. Например, если мы добавляем к единице одну вторую, одну четвертую, одну шестнадцатую и так далее, то результатом суммы является конечная величина. В случае с этой апорией Зенона именно так и происходит. Однако этот факт стал понятен только со времен Ньютона, когда было сформулировано исчисление бесконечно малых величин, и, благодаря ему, мы понимаем, что расстояние между Ахиллесом и черепахой не может оставаться отличным от нуля.

Другая известная апория звучит следующим образом: летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент, то покоится она всегда. Мысль Зенона заключается в том, что состояние стрелы должно характеризоваться только своим положением в пространстве.

Разрешение второго парадокса появилось тоже после формулировки ньютоновой механики - стало понятно, что движение тел описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, а именно: второй закон Ньютона говорит о том, что масса, умноженная на ускорение, равна силе. Ускорение - это скорость изменения скорости, это вторая производная от меняющегося во времени положения частицы. Следовательно, состояние стрелы характеризуется не только ее положением, но и скоростью в данный момент времени. Скорость определяет то, куда стрела сместится в следующий момент времени.

Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена

Одной из наиболее мистических концепций квантовой механики является ее вероятностная интерпретация - с ней спорили многие ученые. В частности, Эйнштейн вместе с Подольским и Розеном описали эксперимент, который выявляет, с их точки зрения, логическое противоречие в этой интерпретации. Существует много разных формулировок парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена, но суть их всех одна и та же. Я расскажу об одной из стандартных формулировок, которая, однако, принадлежит не самим Эйнштейну, Подольскому и Розену.

Представим систему из двух фотонов, общая поляризация которых равна нулю, при этом оба фотона по отдельности не имеют определенной поляризации. Законы квантовой механики гласят, что в этом случае замкнутая система двух фотонов характеризуется волновой функцией, но при этом состояние каждого из фотонов по отдельности характеризуется не волновой функцией, а матрицей плотности. Говорят, что система двух фотонов описывается чистым состоянием, а каждый из фотонов по отдельности - смешанным.

Итак, фотоны отдалились друг от друга: к примеру, один из них улетел в Лондон, а второй - во Владивосток. Представим, что в Лондоне кто-то произвел измерение поляризации первого фотона. Тогда, в соответствии с законами квантовой механики, состояние первого фотона изменилось - произошла редукция его состояния. Из смешанного состояния он перешел в чистое. Например, с какой-то вероятностью он мог оказаться поляризованным в вертикальной плоскости.

Парадокс заключается в том, что в тот же самый момент, когда первый фотон в Лондоне перешел в чистое состояние, второй фотон во Владивостоке также изменил свое состояние - перешел из смешанного в чистое состояние, ровно с противоположной поляризацией. Это противоречит здравому смыслу, так как означает, что можно на расстоянии воздействовать на состояние второго фотона, тем самым нарушая принцип причинности.

Это наблюдение звучит еще более парадоксально, если учесть, что если в какой-то инерциальной системе отсчета два события одновременны, то обязательно есть инерциальная система отсчета, в которой второе событие происходит раньше первого. То есть редукция состояния фотона во Владивостоке в новой системе отсчета произойдет даже раньше того, как состояние первого фотона в Лондоне будет измерено.

Очень важно подчеркнуть, что эта ситуация отличается от эксперимента с черным и белым шарами, с которым ее часто сравнивают из-за недопонимания. В случае с шарами происходило бы следующее: два шара черного и белого цвета закрыты в коробке, и если разделить коробку пополам так, что в каждой части оказывается по шару, и отвезти одну во Владивосток, а другую в Лондон, то, открыв одну из них, мы сразу понимаем, какой шар во второй. В данном случае не было воздействия на второй шар, так как он с момента разделения коробки пополам имел определенный цвет. Ситуация с фотонами, как должно быть ясно из рассказа, совершенно другая.

Для меня полное разрешение этого парадокса все еще остается загадкой, но следует подчеркнуть, что никакого нарушения причинности в обсуждаемой ситуации не происходит именно из-за вероятностной природы квантовой механики. Дело в том, что, измеряя состояние первого фотона, мы не можем заставить его иметь ту поляризацию, которую нам захочется. В результате нашего измерения в Лондоне фотон может оказаться поляризованным тем или иным образом с какой-то вероятностью, а того, как он окажется поляризованным, мы не можем знать заранее. Соответственно, второй фотон окажется противоположно поляризованным с той же вероятностью. Поэтому для человека, наблюдающего за вторым фотоном во Владивостоке, его переход в чистое состояние с определенной поляризацией не будет являться передачей какого-то сообщения из Лондона. Однако станет ясно, что состояние первого фотона было измерено и система разомкнулась.

Парадокс кота Шредингера

Шредингер также спорил с вероятностной интерпретацией квантовой механики и в спорах на этот счет придумал следующий мысленный эксперимент: есть коробка, в которую помещены кот и специальный прибор, содержащий небольшое количество радиоактивного вещества, так что в течение часа с какой-то вероятностью может произойти распад одного из атомов этого вещества. Если распад происходит, срабатывает триггер, который запускает ток, разбивающий колбу с ядом, и яд убивает кота. Если распада не происходит, кот остается жив.

Парадокс заключается в следующем: квантовая механика утверждает, что до того, как произошло измерение, вы не знаете, распался атом или нет. Соответственно, и атом, и кот пребывают в смешанном состоянии, как пара фотонов в парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена. Точнее, если законы квантовой механики распространить на кота, то кот вместе с прибором и атомом составляют замкнутую систему, которая находится в чистом состоянии. При этом каждая из подсистем этой замкнутой системы характеризуется смешанным состоянием. Но что такое смешанное состояние для кота, когда он не жив и не мертв?

Фактически парадокс Шредингера в случае существования смешанного состояния кота показывал бы отсутствие параметра, по которому происходит переход от маленькой квантовой системы (коей является атом) к большой классической (такой как кот). Тем не менее такой параметр есть. Любая система - и классическая, и квантовая - характеризуется действием, и у маленькой квантовой системы действие и его градиенты сравнимы с постоянной Планка. Для большой классической системы и действие, и его градиенты намного больше этой постоянной. Например, камень (или луна) летит по определенной траектории не потому, что мы его постоянно измеряем, а потому, что коллективное движение составляющих его частиц описывается действием, градиенты которого и в пространстве, и во времени огромны по сравнению с постоянной Планка.

Итак, обсуждаемый парадокс можно решить, если вспомнить, что такое измерение в квантовой механике. Измерение - это воздействие большой классической системы (прибора) на маленькую квантовую (частицу). В данном случае кот и прибор, вместе взятые (да и по отдельности), являются большой классической системой, и измерение состояния радиоактивного атома происходит не в момент раскрытия коробки с котом, а в момент взаимодействия этой системы с частицей, которая с какой-то вероятностью распадется или не распадается. Следовательно, кот умрет или выживет еще до того, как откроется коробка.

Если вы хотите узнать больше о теоретической физике, записывайтесь на курс Эмиля Ахмедова «Теоретическая физика: от квантовой механики до теории поля», который состоится 20, 22 и 24 июня в Академии ПостНауки.

Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл , еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел ; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени . Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее.

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией - от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона - это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу - и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным - собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

Но это же просто смешно. Каждый сидящий в этой комнате может выиграть гонку с черепахой. Даже такой старый и степенный философ, как Бертран Рассел, - даже он может обогнать черепаху. Но если он и не сможет победить ее, он сможет ее перехитрить!

По-моему, неплохой итог для всего сказанного выше.

Зенон (ок. 490 г. До Р. Х. - ок. 430 г. До Р. Х.) принадлежал к элейской греческой философской школе, которая провозглашала, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Учитель Зенона Парменид утверждал: «Вселенная неизменна, ибо, признав изменение, мы признали бы небытие того, что существует, а лишь бытие существует» (). Точка зрения Зенона более диалектична. Он говорил: «Предположите существование вашего изменения; в нем, как в изменении, содержится его ничто, или, иначе говоря, оно не существует». При этом нужно заметить, что для Парменида изменение означало определенное и завершенное движение, а Зенон высказывался и выступал против движения как такового, или, иначе говоря, против чистого движения. «Чистое бытие не есть движение, оно, наоборот, есть ничто движения».

Тем, кто придерживался противоположной точки зрения Зенон предлагал опровергнуть его парадокс, сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), показывающий, что движение (образец «видимого» изменения) логически невозможно. Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией - от греч. dichotomia «разделение надвое»). Первая апория провозглашала, что невозможно пересечь комнату. Ведь сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием «Ахилл», еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл, непобедимый в беге, собирается состязаться с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
А вот третья апория словами самого Зенона: «Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно. Этот парадокс называется «Стрела».
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Апории Зенона будоражили творческую мысль с самого того времени, как они были сформулированы. Известно, что циник Диоген Синопский в ответ на доводы нашего философа молча встал и начал ходить взад и вперед; таким образом он опроверг его парадокс о невозможности движения делом. Но там, где ведут борьбу доводами, пишет Гегель, допустимо лишь такое же опровержение доводами; нельзя в таком случае удовольствоваться чувственной достоверностью, а нужно понять. К тому же наличность видимого движения и не оспаривалась Зеноном. Движение обладает чувственной достоверностью, оно существует, подобно тому, как существуют слоны; в этом смысле Зенону и на ум не приходило отрицать движение. Вопрос здесь идет о его истинности, но движение неистинно, ибо представление о нем содержит в себе противоречие; и значит движение не обладает истинным бытием. Опровержение данного положения - совсем другой уровень полемики и подняться до него не просто, поскольку в парадоксе Зенона едва ли не впервые оказались сведены воедино такие фундаментальные понятия, как «пространство», «время», «движение» и человеческое сознание. Соответственно, чтобы доказать нелепость его апорий, необходимо сначала определить философскую, физическую природу пространства, времени и движения.

Сам Гегель, уделивший парадоксу Зенона важное место в своих «Лекциях по истории философии», строит свои доводы следующим образом. Первая форма опровержения состоит в утверждении: «Движение не обладает истинностью, так как движущееся должно дойти до половины пространства, прежде чем оно дойдет до цели». То есть, мы должны признать, как предпосылку, непрерывность пространства. Движущееся должно достигнуть известного конечного пункта; этот путь представляет собою целое. Чтобы пройти целое, движущееся должно сначала пройти половину; теперь конечным пунктом является конец этой половины, но эта половина пространства есть в свою очередь целое, которое, таким образом, также имеет в себе половины; движущееся, следовательно, прежде должно дойти до половины этой половины – и т.д. до бесконечности. Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением. Каждая величина (а каждое время и каждое пространство всегда обладают величиной) делима в свою очередь на две половины, которые должны быть пройдены, и это всегда имеет место, какое бы маленькое пространство мы ни взяли. Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается; движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта.

Общее разрешение этого противоречия, даваемое Аристотелем, заключается в том, что пространство и время не бесконечно разделены, а лишь бесконечно делимы. Но может показаться и действительно кажется, что, будучи делимы, т.е. разделены в возможности, они должны быть разделены также и в действительности, ибо в противном случае их нельзя было бы делить до бесконечности. Исходя из этого соображения, мы, не задумываясь, соглашаемся, как с чем-то невинным, с утверждением, что движущееся должно дойти до половины; но, таким образом, пишет Гегель, мы уже согласились со всем остальным, т.е. согласились, что оно никогда не дойдет, ибо сказать это раз равнозначно повторению этого высказывания бесчисленное количество раз. Возражают, что в большом пространстве можно признать необходимость дойти до половины, но вместе с тем представляют себе дело так, что в очень маленьком пространстве доходят до такой точки, где деление пополам больше уже невозможно, т.е. доходят до неделимого, не непрерывного, доходят до того, что не есть пространство. Но это неверно, ибо непрерывность есть существенное определение; в предположении наличности половины содержится уже перерыв непрерывности. Следует сказать: не существует половины пространства, ибо пространство непрерывно; можно разломать на две половины кусок дерева, но не пространство, а в движении имеется только пространство. Можно было бы сказать: пространство состоит из бесконечно многих точек. Обыкновенно представляют себе, что можно переходить от одной такой неделимой точки к другой, но таким образом нельзя продвинуться дальше, ибо таких точек – бесчисленное множество. Своим невинным на первый взгляд допущением Зенон заставляет нас расщепить непрерывное на его противоположность, на неопределенное множество, в следствии этого мы не принимаем непрерывности и, следовательно, не принимаем наличности движения. Ошибочно утверждение, будто оно возможно, если дойдешь до одной такой точки, которая уже не непрерывна; это ошибочно, потому что движение есть связь.

Точно также обстоит дело со второй апорией. Более быстрое движение, утверждает Зенон, не помогает Ахиллу пробежать то расстояние, на которое оно отстает; время, которое он употребляет для этого, используется всегда и более медлительным, чтобы в продолжение его снова опередить первое, хотя и на все меньшее и меньшее расстояние, которое, однако, благодаря непрерывному делению пополам, никогда вполне не исчезает. Аристотель, рассматривая этот довод, говорит по поводу его кратко: «Это доказательство представляет ту же самую бесконечную деленность; оно, однако, ложно, ибо быстроходный все же догонит медленного, если будет дозволено преступить границу». Его ответ, пишет Гегель, правилен и содержит в себе все нужное: в этом представлении принимаются именно две точки времени и два пространства, отделенные друг от друга, т.е. отграниченные друг от друга; если же мы, напротив, примем, что время и пространство непрерывны, так что две точки времени или пространства, как непрерывные, соотнесены друг с другом, то они суть две точки и в равной же мере не суть две точки, а тождественны. В представлении мы разрешаем этот вопрос легче всего, говоря: «Так как второе тело быстроходнее, то оно в одно и то же самое время проходит более значительное пространство, чем медленно движущееся; оно, следовательно, может дойти до того места, откуда начинает свое движение первое тело, а затем – пойти еще дальше». Время, значит, и есть то ограниченное, за пределы которого, согласно Аристотелю, мы должны выйти, то, через которое должно проникнуть дальше; так как оно непрерывно, то мы, чтобы разрешить затруднение, должны сказать, что то, чт; мы различаем как две части времени, должно быть взято как одна часть времени. В движении две точки времени, равно как и две точки пространства, суть на самом деле одна точка. Ведь когда мы желаем уяснить себе вообще движение, мы говорим, что тело находится в одном месте, а затем идет в другое место. Во время движения оно уже не находится в первом месте, но вместе с тем еще не находится во втором месте; если бы оно находилось в одном из этих мест, оно находилось бы в покое. Но где же оно находится? Если скажем, что оно находится между этими двумя местами, то этим в действительности ничего не скажем, ибо в таком случае оно также находилось бы в одном месте, и перед нами возникло бы, следовательно, то же самое затруднение. Но двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, – следовательно, находиться в обоих местах одновременно; в этом состоит непрерывность времени и пространства, которая единственно только и делает возможным движение. Зенон же в своем умозаключении строго отделял друг от друга эти две точки. Дискретность времени и пространства признаем и мы, но в равной же мере им должно быть дозволено преступать границу, т.е. полагать границу как то, что не есть граница, или полагать деленные части времени, которые вместе с тем суть и неделенные части.

Из сказанного очевидно, каким образом можно опровергнуть третью апорию Зенон, когда он говорит: «Летящая стрела находится в покое, и именно потому, что движущееся всегда находится в равном себе «теперь» и равном себе «здесь», в неразличимом»; стрела – здесь и здесь и здесь. Мы можем сказать о стреле, что она всегда одна и та же, так как она всегда находится в одном и том же пространстве и в одном и том же времени; она не выходит за пределы своего пространства, не занимает другого, т.е. большего или меньшего пространства, но это мы называем не движением, а покоем. В «здесь» и «теперь» упразднено становление иным; в них, правда, положена ограниченность вообще, но она положена лишь как момент; так как в «здесь» и «теперь», как таковых, не содержится различия. Аристотель говорит об этом третьем доказательстве: «Оно возникает из того, что Зенон принимает, будто время состоит из теперь, но если мы не согласимся с этим, не получится и вывода».

Что до четвертого возражения Зенона, то оно построено на противоречии, получающемся при движении в противоположных направлениях; общее движение целиком получает одно тело, тогда как само по себе оно проделывает только часть. А на самом деле расстояние, пройденное одним телом, есть сумма расстояний, пройденных обоими.

Философия в эпоху греко-персидских войн