Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.
§ 46. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ.
1. Прямоугольник.
Построим прямой угол А. Обозначим на его сторонах две произвольные точки В и С (черт. 235). Через точку В проведём прямую, параллельную АС, а через точку С проведём прямую, параллельную АВ.
Точку пересечения этих прямых обозначим буквой D (черт.236). Мы получили параллелограмм АВDС, в котором / А = d . Нетрудно доказать, что в этом параллелограмме все внутренние углы будут прямые.
Ну, это интересно, потому что здесь у вас есть линия. И мы ясно видим, что эти вещи, которые могут быть чередующимися внутренними углами, конгруэнтны, поэтому это должно быть параллельно этому. Теперь мы можем использовать эту ту же логику. Мы также знаем, что угол - позвольте мне понять это правильно, и мы знаем, что соответствующие углы совпадают с конгруэнтными треугольниками. Поэтому мы просто говорим, что этот угол равен этому углу. Ну, опять же, это могут быть альтернативные внутренние углы.
И здесь здесь две строки, которые мы не уверены, параллельны ли они, но поскольку альтернативные внутренние углы конгруэнтны, мы знаем, что они параллельны. Так что мы сделали - это интересно. Мы показали, если у вас параллелограмм, противоположные стороны имеют одинаковую длину. И если противоположные стороны имеют одинаковую длину, то у вас есть параллелограмм. И поэтому мы фактически доказали это в обоих направлениях. И поэтому мы можем фактически сделать то, что вы называете «если и только если».
В самом деле, /
В + /
А =2d
, как углы внутренние односторонние при параллельных прямых АС и ВD и секущей AB. Но /
А = d
, следовательно, и /
В = d
. Кроме того,
/
A = /
D и /
В = /
С, как противоположные углы параллелограмма. Таким образом, все углы этого параллелограмма прямые.
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Вы могли бы сказать, что противоположные стороны четырехугольника параллельны тогда и только тогда, когда их длины равны. если они параллельны, то вы можете сказать, что их длины равны. И только если их длины равны, они параллельны. Мы доказали это в обоих направлениях. Так что помните, ромб - это просто параллелограмм, где все четыре стороны равны. На самом деле, если все четыре стороны равны, это должен быть параллелограмм. И только для того, чтобы прояснить ситуацию, некоторые ромбы - это квадраты, но не все из них.
Потому что у вас может быть такой ромб, который появляется там, где углы не достигают 90 градусов, но все квадраты - это ромбы, потому что все квадраты имеют углы 90 градусов. Это не то, что делает их ромбом, но все сторон равны. Таким образом, все квадраты - это ромбы, но не все ромбы - квадраты. Теперь, сказав это, давайте подумаем о диагоналях ромба. Итак, по определению ромба, четыре стороны будут равны. Теперь позвольте мне нарисовать одну из своих диагоналей. Диагонали будут правыми вдоль горизонтали, прямо так.
2. Свойства прямоугольника.
Так как прямоугольник есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами (§ 43).
1. Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали прямоугольника в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны прямоугольника равны между собой, равны также и противоположные углы его.
Теперь этот треугольник сверху и треугольник внизу обе разделяют эту сторону, так что сторона, очевидно, будет одинаковой длины для обоих этих треугольников. другие две стороны треугольников тоже одно и то же. Они являются сторонами реального ромба. Таким образом, все три стороны этого верхнего треугольника и этот нижний треугольник одинаковы. Таким образом, этот верхний треугольник и этот нижний треугольник являются конгруэнтными. Если вы вернетесь к своей геометрии девятого сорта, вы будете использовать теорему боковой стороны, чтобы доказать это.
Кроме этих свойств, прямоугольник обладает еще следующим свойством:
Диагонали прямоугольника равны.
Докажем это свойство. Возьмём прямоугольник АВСD, проведём в нём две диагонали (черт. 237) АС и ВD и докажем, что они равны между собой.
Сравним два треугольника АВD и АСD. Сторона АD у них общая и АВ = DС. Кроме того, они прямоугольные. Следовательно, они равны между собой, поэтому АС = ВD.
Три стороны конгруэнтны, то сами треугольники конгруэнтны, но это также означает, что все углы в треугольнике являются конгруэнтными Таким образом, угол, противоположный этой стороне, эта общая сторона прямо здесь будет соответствовать соответствующему углу в другом треугольнике, угол, противоположный этой стороне. Таким образом, это будет то же самое, что и теперь. Оба этих треугольника также являются равнобедренными треугольниками, поэтому их базовые углы будут одинаковыми. Таким образом, это один базовый угол, то есть другой базовый угол, верно?
Упражнение. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Этим свойством прямоугольника пользуются в столярных и слесарных мастерских для проверки, насколько точно сделаны те или иные детали или предметы, которые должны иметь прямоугольную форму, например: крышка стола, дно или боковая стенка ящика, рамка для картины и т. д.
Это перевернутый равнобедренный треугольник, это правая сторона вверх. Итак, если эти два одинаковые, тогда они тоже будут одинаковыми. Они будут одинаковыми друг с другом, потому что это равнобедренный треугольник. И они тоже будут такими же, как эти два других символа, потому что это конгруэнтные треугольники. Если мы возьмем высоту от каждой из этих вершин до этой стороны прямо здесь. Таким образом, высота по определению будет здесь перпендикулярной. Теперь равнобедренный треугольник совершенно симметричен.
Два правых треугольника, которые по сути являются зеркальными изображениями друг друга. Вы также разделите пополам противоположную сторону. Эта высота, по сути, является срединной частью треугольника. Теперь мы можем сделать это с другой стороны. То же самое произойдет. Здесь мы разделяем эту сторону. И так по существу сочетание этих двух высот действительно просто диагональю этого ромба.
Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны и равны его диагонали, то он должен быть прямоугольником. В противном же случае он не будет иметь форму прямоугольника и потребует соответствующего исправления.
3. Построение прямой, все точки которой находятся
на данном расстоянии l
от данной прямой.
И он находится под прямым углом к другой диагонали ромба. И он делит пополам другую диагональ ромба. И мы могли бы сделать здесь один и тот же аргумент. Здесь вы можете думать о равнобедренном треугольнике. Он разбивает его на два симметричных треугольника. Это, по сути, медиана этого треугольника. Любой равнобедренный треугольник, если эта сторона равна этой стороне, если вы сбросите высоту, эти два треугольника будут симметричными, и вы разделите пополам противоположную сторону. Таким образом, по тому же аргументу эта сторона равна этой стороне, поэтому две диагонали любого ромба перпендикулярны друг другу, и они делят друг друга пополам.
Если через точку А, находящуюся на расстоянии l от данной прямой МС, провести прямую, параллельную МС, то любая точка этой прямой будет находиться на расстоянии l от прямой МС (черт. 238).
Если АВ = l и ОР_|_МС, то ОР = АВ = l (как противоположные стороны прямоугольника).
В любом случае, надеюсь, вы нашли это полезным. Многоугольник представляет собой замкнутую двумерную форму со всеми прямыми линиями. Четырехугольник представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами или ребрами и четырьмя вершинами или углами, а сумма его углов равна 360 °.
Существует 5 типов четырехугольников, и каждый должен быть знаком с каждым из них: Параллелограмм, Прямоугольник, Квадрат, Ромб и Трапеция. Давайте обсудим несколько свойств каждого, изучая их. Он имеет противоположные стороны параллельно. Он имеет две пары параллельных сторон. Противоположные углы равны, а противоположные стороны имеют равную длину.
Кроме прямой АК, по другую сторону МС можно построить ещё прямую ЕN, обладающую тем же свойством: ВА" = РО" = l
. Точки плоскости, не лежащие на прямых
АК и ЕN, этим свойством не обладают.
Прямые АК и ЕN являются геометрическим местом точек, отстоящих от данной прямой МС на расстоянии l .
Эти две прямые симметричны относительно данной прямой.
Отношения с другими четырехугольными. Прямоугольник является параллелограммом, но со всеми углами, зафиксированными при 90 °. Квадрат представляет собой параллелограмм, но со всеми сторонами, равными по длине, и все углы фиксируются при 90 °. Ромб является параллелограммом, но со всеми сторонами, равными по длине. . Это особый тип четырехугольника, который имеет противоположные стороны, параллельные и равные. Противоположные углы равны, и каждый равен 90 °.
Квадрат - это особый случай прямоугольника, где все четыре стороны имеют одинаковую длину. Это также частный случай параллелограмма, но с дополнительным ограничением, что углы фиксированы при 90 °. Отрегулируйте прямоугольник выше, чтобы создать квадрат. . Это особый тип четырехугольника со всеми сторонами равными и всеми внутренними углами 90 °.
4. Ромб.
Построим угол и на его сторонах отложим от вершины А равные отрезки АВ = АС (черт. 239).
Через точку В проведём прямую, параллельную АС; через точку С проведём прямую, параллельную АВ. Точку пересечения этих прямых обозначим через D. Мы получили параллелограмм АВDС, причём ВD = АС, СD = АВ, как противоположные стороны параллелограмма. Отсюда: ВD = АС = АВ = DС.
Квадрат представляет собой ромб и прямоугольник и поэтому обладает всеми свойствами обеих этих фигур, а именно. Диагонали квадрата равны. Прямоугольник, но со смежными сторонами равный параллелограмму, но с смежными сторонами равными, а углы всех 90 ° ромбом, но с углами все 90 °.
- Диагонали квадрата делят друг друга пополам.
- Диагонали квадрата делят его пополам.
- Диагонали квадрата перпендикулярны.
- Противоположные стороны квадрата параллельны и равны.
- Все четыре угла квадрата равны.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
5. Свойства ромба.
Так как ромб есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами.
1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.
Четырехугольник, который имеет по крайней мере одну пару параллельных сторон. Если площадь прямоугольника равна 221 кв. Дюйм, то длина диагонали прямоугольника, в дюймах, равна? Какова область затененного региона? Мы будем говорить обо всех видах полигонов. Ниже мы поговорим и покажем несколько примеров наиболее распространенных, включая треугольники, четырехугольники и т.д.
Треугольники - это просто формы с тремя сторонами. Они могут быть большими или маленькими и могут выглядеть несколько иначе. В зависимости от углов и сторон мы можем сортировать треугольники на разные типы. Самый простой способ сортировки треугольников - по их размеру угла.
Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
б) диагональ ромба делит угол его пополам
.
В ромбе АВСD проведём две диагонали АС и ВD (черт. 240), пересекающиеся в точке О, и докажем, что АС_|_ ВD, а диагональ АС делит угол С пополам.
Правый треугольник: правый треугольник - это тот, в котором один из углов является прямым углом.
- Острый треугольник: острый треугольник - это тот, в котором все углы острые.
- Тупой треугольник: тупой треугольник - это тот, в котором один из углов тупой.
Другой способ группировать треугольники - это посмотреть на их стороны. Равносторонний треугольник: равносторонний треугольник - это тот, в котором все три стороны имеют одинаковую длину. Треугольник изоселек: треугольник изоселек - это тот, в котором две стороны имеют одинаковую длину. Обратите внимание, что каждый равносторонний треугольник автоматически также равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике ВСD отрезок СD является медианой, а следовательно, и высотой, и биссектрисой угла С. Отсюда АС _|_ ВD и / 1 = / 2 . Так же доказывается, что диагональ АС делит пополам угол А, а диагональ ВD делит пополам углы В и D.
6. Квадрат.
Построим прямой угол и на его сторонах отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 241).
4-сторонние полигоны
После треугольников тип формы, с которым мы столкнемся больше всего, - четырехугольник. Четырехугольник: многоугольник с четырьмя сторонами. . Обратите внимание, что в целом 4-го уровня могут выглядеть довольно странно и нерегулярно. Есть несколько особых случаев, о которых мы заботимся.
Квадрат: четырехугольник с четырьмя сторонами равной длины и четырьмя прямыми углами. Обратите внимание, что квадрат может иметь разные размеры, и вам разрешено вращать его. Выше приведены несколько примеров квадратов. Прямоугольник: четырехугольник, имеющий четыре прямых угла. . Опять же, прямоугольники бывают разных размеров, и мы можем нарисовать их под углом, если хотим. Пока все углы 90 градусов, это будет ответ.
Через точки В и С проведём прямые, параллельные сторонам АС и А В. Точку пересечения их обозначим через О. Мы получили четырёхугольник, в котором:
а) противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм;
б) все углы прямые, следовательно, это прямоугольник;
в) все стороны равны, следовательно, это ромб.
Параллелограмма: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. . Мы не знаем, что такое параллельное средство, но это означает, что два сегмента никогда не встречаются, даже если вы должны продолжать бесконечно далеко. Многоугольник: многоугольник представляет собой замкнутую плоскую фигуру, образованную соединением сегментов линии. Сегменты могут не пересекаться, и каждый сегмент должен соединяться ровно с двумя другими в своих конечных точках.
Ниже приведены некоторые примеры вещей, которые являются полигонами и вещами, которые не являются многоугольниками. Левая фигура не закрыта, а фигуры в середине не состоят из сегментов линии. Рисунок справа не является многоугольником, так как его стороны пересекаются друг с другом.
Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом
(черт. 242).
Может быть дано и такое определение квадрата: ромб, у которого все углы прямые, называется квадратом.
7. Свойства квадрата.
Так как квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает всеми их свойствами.
1. а) Диагональ квадрата делит его на два равных треугольника.
б) Диагонали квадрата в точке их пересечения делятся пополам.
в) Противоположные стороны квадрата равны между собой, равны и противоположные углы его. (Свойства параллелограмма.)
2. Диагонали квадрата равны. (Свойство прямоугольника.)
3. а) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
б) Диагональ квадрата делит его угол пополам. (Свойства ромба.)
8. Симметрия прямоугольника, ромба и квадрата.
Так как прямоугольник, ромб и квадрат являются параллелограммами, то точка пересечения диагоналей этих фигур является также их центром симметрии.
Прямоугольник, ромб и квадрат, кроме того, имеют ещё oси симметрии. В прямоугольнике осями симметрии являются прямые, проходящие через середины противоположных сторон (черт. 243).
В ромбе осями симметрии являются две его диагонали (черт. 244).
Квадрат имеет четыре оси симметрии (черт. 245), которые указаны для прямоугольника и ромба.
Упражнения.
1. Перечислите изученные свойства параллелограмма.
2. Перечислите изученные свойства прямоугольника.
3. Перечислите изученные свойства ромба.
4. Диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Значит ли, что этот четырёхугольник - ромб? При каком дополнительном условии он будет ромбом?
5. Построить ромб по данной стороне н прилежащему углу.
6. Построить ромб по двум его диагоналям.
7. Построить квадрат по данной его стороне.
8. Построить квадрат по его диагонали.
9. Приложить двустороннюю линейку сначала к одной стороне произвольного угла А, а затем к другой стороне и провести две прямые, параллельные сторонам этого угла (черт. 246).
Точку С пересечения этих двух прямых соединить с вершиной угла и доказать, что прямая АС разделит / А пополам.
10. В следующих задачах дополнить условие недостающими данными, чтобы решение было единственным:
а) Построить ромб по данной его стороне;
б) Построить прямоугольник по данной его стороне;
в) Построить ромб по данному углу;
г) Построить параллелограмм по данной его стороне.
11. Вырезать квадрат, разрезать его на части, как показано на чертеже 247, и составить из них фигуры, приведённые на этом чертеже.
Четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех точек, которые последовательно соединены четырьмя отрезками. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника.
Параллелограмм.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (рис.1).
Теорема:
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1) У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
2) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3) Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 + b 2),
где d 1 и d 2 – диагонали параллелограмма, a и b – смежные стороны.
Прямоугольник.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.2).
Теорема:
Диагонали прямоугольника равны.
Ромб.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис.3).
Теорема:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Квадрат.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.4).
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Свойства квадрата:
1.У квадрата все углы прямые.
2.Диагонали квадрата равны.
3.Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Трапеция.
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис.5).
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Теорема:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.